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定理已证明

秩–零化度定理

命题陈述

若 T:V→WT: V \to W 是有限维向量空间之间的线性映射,则 dim⁡(ker⁡T)+dim⁡(im⁡T)=dim⁡V\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = \dim V。

为什么成立?

输入空间 VV 的每一个维度在 TT 的作用下必有归宿:要么被压缩为零(计入核),要么幸存下来,在像中呈现为一个真正的新方向。由于这是仅有的两种结局且彼此不重叠,这两部分的维数之和必然等于出发时的维数。

证明思路

取 ker⁡T\ker T 的一组基 v1,…,vkv_1,\dots,v_k,并将其扩充为 VV 的一组基 v1,…,vk,vk+1,…,vnv_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n。证明 T(vk+1),…,T(vn)T(v_{k+1}),\dots,T(v_n) 构成 im⁡T\operatorname{im} T 的一组基:由于 T(v1),…,T(vk)T(v_1),\dots,T(v_k) 为零,它们张成了 im⁡T\operatorname{im}T;它们线性无关,是因为它们之间若存在线性相关关系,就会回拉出 VV 中涉及 ker⁡T\ker T 中一个不在 v1,…,vkv_1,\dots,v_k 张成空间内的非零元素的相关关系,产生矛盾。因此 dim⁡(im⁡T)=n−k\dim(\operatorname{im}T)=n-k。

用到此定理的主题

向量空间

相关定理

凯莱–哈密顿定理

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right