切比雪夫不等式

令 $A = \{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$。在事件 $A$ 上有 $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2$，因此逐点不等式 $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2 \mathbf{1}_A$ 在整个样本空间上成立。对两边取期望并利用单调性与线性性，得 $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] \ge \mathbb{E}[\varepsilon^2 \mathbf{1}_A] = \varepsilon^2 \mathbb{P}(A) = \varepsilon^2 \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon)$。两边同除以 $\varepsilon^2 > 0$ 即得 $\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。