弱大数定律

当方差 $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1)$ 有限时，由线性性与独立性可得 $\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu$ 且 $\operatorname{Var}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$。应用切比雪夫不等式即得 $\mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\operatorname{Var}(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0$（当 $n \to \infty$ 时）。若仅假设 $\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$（辛钦定理），则令 $Y_{i} = X_i \mathbf{1}_{\{|X_i| \le n\}}$ 在水平 $n$ 处截断，利用 $\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$ 证明 $\mathbb{P}(\exists i \le n : X_i \ne Y_i) \le n\mathbb{P}(|X_1| > n) \to 0$，再对截断后的均值应用切比雪夫不等式。