波动方程的达朗贝尔公式

命题陈述

对于波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$（定义在 $\mathbb{R} \times (0,\infty)$ 上，初值为 $u(x,0)=\varphi(x)$, $u_t(x,0)=\psi(x)$），其唯一解为 $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$。

为什么成立?

无限长弦上的波不过是初始形状的两份复制，一份以速度 $c$ 向左滑动，一份向右滑动，再加上一个反映初始速度的修正项。点 $(x,t)$ 处发生的一切只能依赖于区间 $[x-ct, x+ct]$ 上的初始数据——信息传播的速度不能超过 $c$。

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分步证明

该定理暂无分步证明。