微积分基本定理

(i) 对充分小的 $h>0$，$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} f(t)\,dt$；由积分中值定理，该式等于 $h\cdot f(\xi_h)$（$\xi_h$ 在 $x$ 与 $x+h$ 之间），故当 $h\to 0$ 时由 $f$ 的连续性有 $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi_h)\to f(x)$。(ii) 由 (i)，$G-F$ 在 $[a,b]$ 上导数为零，故为常数；比较 $G(b)-F(b)=G(a)-F(a)$，并利用 $F(a)=0$、$F(b)=\int_a^b f$，得 $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$。