散度定理（高斯–奥斯特罗格拉德斯基定理）

命题陈述

设 $V \subset \mathbb{R}^3$ 是一个有界区域，其光滑边界 $\partial V$ 以外法向量 $\mathbf{n}$ 定向，$\mathbf{F}$ 是在 $\overline{V}$ 的某邻域上连续可微的向量场。那么 $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, dS$。

为什么成立?

散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 衡量向量场在每一点向外扩散的程度，就像流体在那里被产生或消失的净速率。把区域内部所有这些局部产生量加起来，必须恰好等于穿过边界逃逸出去的净流量——中间不会损失任何东西，只能通过表面离开。

用到此定理的主题

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分步证明

该定理暂无分步证明。