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定理已证明

斯托克斯定理

命题陈述

在经典向量微积分中，设 S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 是有向的分段光滑曲面，具有正向边界曲线 ∂S\partial S 和单位法向量 n\mathbf{n}，F\mathbf{F} 是 SS 某邻域上连续可微的向量场。则 ∬S(∇×F)⋅n dS=∮∂SF⋅dr\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}。在微分形式的一般表述中，对任意有向光滑 nn 维带边流形 MM，以及 MM 上任意紧支集光滑 (n−1)(n-1) 形式 ω\omega，有 ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega。

为什么成立?

设想用细密的小有向环路网格铺满曲面 SS，所有小环路都按相同的逆时针方向旋转。每一点处的旋度 (∇×F)⋅n(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} 衡量了 F\mathbf{F} 围绕一个小网格片的微观环量。把所有小网格片的环量加在一起时，每一条内部边都被两个相邻网格片沿相反方向经过，因此所有内部贡献都成对抵消。只有沿着边界 ∂S\partial S 未被共享的外侧边保留下来，合成宏观环量 ∮∂SF⋅dr\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}。从 ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega 的角度看，它表明对微分形式的外微分进行积分与取积分区域的边界互为对偶。

证明思路

利用从属于 MM 的有向坐标图册的光滑单位分解将形式拆为 ω=∑kρkω\omega = \sum_k \rho_k \omega，从而只需在 ω\omega 的紧支集完全落入以 Rn\mathbb{R}^n 或上半空间 Hn={x∈Rn:xn≥0}\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \ge 0\} 为模型的单个坐标卡内时证明 ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega。写出 ω=∑i=1nfi(x) dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn\omega = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)\,dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge dx_n，其外微分为 dω=(∑i=1n(−1)i−1∂fi∂xi)dx1∧⋯∧dxnd\omega = \left(\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\right) dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n。沿每个坐标 xix_i 应用富比尼定理与单变量微积分基本定理，由于 fif_i 具有紧支集，i<ni < n 的各项均为零；而在 Hn\mathbb{H}^n 上 i=ni = n 的项在边界 xn=0x_n = 0 处的取值恰好与带有诱导定向的 ∫∂Hnω\int_{\partial \mathbb{H}^n} \omega 一致。

用到此定理的主题

向量分析光滑流形微分几何

相关定理

散度定理（高斯–奥斯特罗格拉德斯基定理）微积分基本定理柯西积分定理高斯-博内定理

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. Michael Spivak (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus
  2. Victor J. Katz (1979). The History of Stokes' Theorem · DOI:10.1080/0025570X.1979.11976770