定理已证明
欧拉回路定理
命题陈述
一个连通有限多重图存在欧拉回路（一条恰好经过每条边一次的闭合途径），当且仅当每个顶点的度数都是偶数。
为什么成立?
每当一条途径沿着一条未用过的边进入某个顶点时，它必须沿着另一条未用过的边离开，从而把与该顶点关联的边两两配对消耗。如果每个顶点都有偶数条边，除了回到起点之外你绝不会在中途被困住，而任何剩余的圈也都可以拼接进主回路中。
证明思路
必要性是显然的，因为每次经过一个顶点都会消耗两条关联边（一进一出）。充分性：从任意顶点出发沿未用过的边行走直至无法继续；所有顶点度数为偶数保证了只能在起点处停下，从而形成一条闭迹。若仍有未用过的边，由连通性知闭迹上必有某个顶点仍有未用过的关联边；在剩余图（所有度数仍为偶数）中从该点出发再走一条闭迹并拼接进去，重复这一过程直到用尽所有边。
用到此定理的主题
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分步证明
该定理暂无分步证明。
参考文献
- Leonhard Euler (1741). Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis · DOI:10.1090/spec/098/33