代数基本定理

一种标准证明(达朗贝尔–阿尔冈 / 高斯)利用刘维尔定理:若多项式 $p(z)$ 没有根,则 $1/p(z)$ 是有界整函数,由刘维尔定理必为常数,这与 $p$ 非常数矛盾。更初等的方法证明 $|p(z)|$ 在 $\mathbb{C}$ 上取得全局最小值(因为当 $|z|\to\infty$ 时 $|p(z)|\to\infty$),并说明该最小值必为零,否则可通过适当扰动使 $|p|$ 更小。