阿贝尔–鲁菲尼定理

命题陈述

不存在仅用系数的加、减、乘、除与开方(根式)表示的通用公式,可以求出所有次数为 $5$ 或更高的多项式方程的根。

为什么成立?

次数为 $2,3,4$ 的方程总能用一套固定的算术运算加开方来破解——二次求根公式以及它的三次、四次“表亲”。阿贝尔和鲁菲尼证明,从次数 $5$ 开始,这种“公式套路”行不通了:支配根如何被置换的对称群变得过于复杂(在群论意义上不再是可解群),以至于任何根式的堆叠都无法将其理清。个别五次方程仍可能用根式求解——不可能的是那个通用公式。

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分步证明

该定理暂无分步证明。