欧拉公式

命题陈述

对任意实数 $\theta$,都有 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。

为什么成立?

对 $\cos\theta+i\sin\theta$ 关于 $\theta$ 求导得到 $-\sin\theta+i\cos\theta = i(\cos\theta+i\sin\theta)$:这个函数总是沿着比当前位置旋转 $90°$ 的方向增长,也就是自身乘以 $i$ 的方向——这正是 $e^{i\theta}$ 的行为方式。两者都以单位角速度描出同一个单位圆,因此它们是同一个函数。取 $\theta=\pi$ 即得欧拉恒等式 $e^{i\pi}+1=0$。

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分步证明

该定理暂无分步证明。