若尔当曲线定理

命题陈述

设 $\gamma$ 是平面 $\mathbb{R}^2$ 中的一条简单闭曲线（圆的连续单射像）。那么 $\mathbb{R}^2 \setminus \gamma$ 恰好有两个连通分支：一个有界的内部区域和一个无界的外部区域，并且 $\gamma$ 是这两个区域共同的边界。

为什么成立?

对于一个圆或手绘的弯曲闭合圈来说，这似乎是显然的：内部的一只昆虫若不穿过曲线就无法到达外部。这个定理之所以困难，正是因为“简单闭曲线”也包括那些处处不光滑、无限曲折的“野性”曲线（例如科赫雪花的边界），对这些曲线，“内部”与“外部”仍需要严格定义并证明。

用到此定理的主题

相关定理

分步证明

该定理暂无分步证明。