定理已证明

博苏克-乌拉姆定理

命题陈述

对任意连续映射 $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ ，都存在点 $x \in S^n$ 使得 $f(x) = f(-x)$ 。等价地，不存在满足对所有 $x$ 都有 $f(-x) = -f(x)$ 的连续映射 $S^n \to S^{n-1}$ 。

为什么成立?

在任一时刻，地球表面上总存在一对对跖点（过球心的直径两端），它们同时具有完全相同的温度和完全相同的气压，这是因为温度和气压都连续变化，且此处 $n=2$ 。

证明思路

该定理可由柳斯捷尔尼克与施尼雷尔曼的覆盖引理导出：若 $S^n$ 被 $n+1$ 个闭集覆盖，则其中至少有一个必含有一对对跖点。把这一引理应用到由 $f$ 构造的集合（按 $f(x)$ 中绝对值最大的坐标对 $S^n$ 分类）上，即可推出存在某个 $x$ 使 $f(x)=f(-x)$ ；该定理也可以直接通过对映射 $g(x)=f(x)-f(-x)$ 的度数、指数论证来证明。

用到此定理的主题

同调与上同调

参考文献

Karol Borsuk (1933). Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre
Jiří Matoušek (2003). Using the Borsuk–Ulam Theorem