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定理已证明

闭曲面分类定理

命题陈述

任意无边界的紧连通曲面都恰好与下列之一同胚：球面 S2S^2；g≥1g \geq 1 个环面的连通和（可定向曲面，亏格 gg，χ=2−2g\chi = 2-2g）；或 k≥1k \geq 1 个射影平面 RP2\mathbb{RP}^2 的连通和（不可定向曲面，χ=2−k\chi = 2-k）。这份列表中任意两个曲面都互不同胚。

为什么成立?

无论一个闭曲面看起来多么扭曲或皱褶，把它剪开再按拓扑方式重新拼接，结果必定是：一个普通球面；或者一个粘上若干“把手”的球面（像在球上叠放若干甜甜圈——环面、双环面等等）；或者一个缝入若干“默比乌斯带式扭转”的球面（这种曲面无法不自相交地嵌入普通三维空间，例如克莱因瓶或射影平面）。

证明思路

对曲面进行三角剖分，再沿三角剖分对偶图的一棵生成树把曲面剪开，得到一个多边形，其边按某个由边标号组成的字（例如环面对应 aba−1b−1aba^{-1}b^{-1}）两两配对粘合。对这个多边形反复施行初等的剪切-粘贴操作（重新标号、沿对角线剪开再粘合），可以把任何这样的字化为标准形式 a1b1a1−1b1−1⋯agbgag−1bg−1a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1} 或 a1a1⋯akaka_1a_1\cdots a_ka_k 之一，从而确定该曲面是亏格为 gg 的可定向曲面，还是 kk 个射影平面的连通和。

用到此定理的主题

欧拉示性数

相关定理

欧拉多面体公式高斯-博内定理毛球定理

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. William S. Massey (1991). A Basic Course in Algebraic Topology
  2. George K. Francis, Jeffrey R. Weeks (1999). Conway's ZIP Proof