定理已证明

拉格朗日定理(群论)

命题陈述

若 $G$ 是有限群, $H$ 是 $G$ 的子群,则 $|H|$ 整除 $|G|$ ;具体地 $|G| = [G:H]\cdot|H|$ ,其中 $[G:H]$ 是 $H$ 在 $G$ 中的陪集个数。

为什么成立?

子群 $H$ 把整个群 $G$ 切分成若干大小都恰好等于 $H$ 的陪集 $gH$ (用 $g$ 平移是一个双射),且这些陪集互不重叠—— $G$ 的每个元素恰好落在一个陪集中。既然 $G$ 被大小相同、互不重叠的若干块完全铺满,它的大小必然是每块大小 $|H|$ 的整数倍。

证明思路

证明左陪集 $gH$ 构成 $G$ 的一个划分:它们覆盖了 $G$ (每个 $g\in gH$ ),且任意两个陪集要么相等要么不相交(若 $g_1H\cap g_2H\neq\varnothing$ 则 $g_1H=g_2H$ )。由于 $h\mapsto gh$ 是双射 $H\to gH$ ,每个陪集恰有 $|H|$ 个元素。对 $[G:H]$ 个陪集求和即得 $|G|=[G:H]\cdot|H|$ 。

提出者

1771 年提出约瑟夫-路易·拉格朗日

用到此定理的主题

群论

参考文献

David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). Abstract Algebra