定理已证明

伽罗瓦理论基本定理

命题陈述

对于有限伽罗瓦扩张 $K/F$ ,其伽罗瓦群为 $G=\operatorname{Gal}(K/F)$ ,则 $G$ 的子群与中间域 $F\subseteq E\subseteq K$ 之间存在一个逆包含关系的双射,由 $H \mapsto K^H$ ( $H$ 的不动域)与 $E \mapsto \operatorname{Gal}(K/E)$ 给出;在此对应下, $E/F$ 是正规扩张当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群,此时 $\operatorname{Gal}(E/F)\cong G/H$ 。

为什么成立?

伽罗瓦理论不直接研究难以处理的域扩张,而是把它换成(通常小得多的)有限对称群 $G$ 。这个对应关系说明这种交换不会丢失任何信息:每个位于 $F$ 与 $K$ 之间的中间域,都以与 $G$ 中子群完全相同的模式对应存在,只是上下颠倒——更大的域对应更小的群。关于域塔的问题(比如“能否只用平方根构造出来”)就变成了关于一个有限群结构的问题,而后者往往容易回答得多。

证明思路

对子群 $H\le G$ ,可以证明 $K^H$ 是满足 $F\subseteq K^H\subseteq K$ 的一个域;特征标的线性无关性(阿廷引理)给出 $[K:K^H]=|H|$ ,又由 $[K:F]=|G|$ ,可得 $[K^H:F]=[G:H]$ 。 $H\mapsto K^H$ 的单射性与满射性来自阿廷定理:对任意子群 $H$ 都有 $\operatorname{Gal}(K/K^H)=H$ ;关于正规性的结论则是因为用 $g\in G$ 对 $H$ 作共轭,对应于把 $g$ 作用在不动域 $K^H$ 上,因此 $H$ 在 $G$ 中正规等价于 $K^H$ 在整个 $G$ 的作用下保持不变,即 $K^H/F$ 是伽罗瓦扩张。

证明者

1832 年证明埃瓦里斯特·伽罗瓦

用到此定理的主题

伽罗瓦理论

参考文献

Ian Stewart (2015). Galois Theory · DOI:10.1201/b18187