定理已证明

洛必达法则

命题陈述

设 $f,g$ 在 $a$ 附近（ $a$ 处可除外）可导， $g'(x)\neq 0$ ，且 $\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ ，或两者都趋于 $\pm\infty$ 。若 $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\pm\infty$ ），则 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 。

为什么成立?

在两个量同时趋于零的“0/0”僵局附近，决定它们比值极限的不是大小，而是它们消失的相对速度——（用导数衡量）消失得“更快”的一方占主导。

证明思路

（在 $0/0$ 情形下）令 $f(a)=g(a)=0$ 扩展 $f,g$ ，使两者在 $a$ 处连续。对靠近 $a$ 的 $x$ ，在 $a$ 与 $x$ 之间的区间上对 $f,g$ 应用柯西中值定理：存在严格介于 $a$ 与 $x$ 之间的 $\xi$ ，使 $\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 。当 $x\to a$ 时也有 $\xi\to a$ ，故 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\to \lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}$ 。 $\infty/\infty$ 情形可由类似但更精细的估计得到。

用到此定理的主题

导数的应用

参考文献

Guillaume François Antoine de L'Hôpital (1696). Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes
Carl B. Boyer (1968). A History of Mathematics