定理已证明

调和函数的极值原理

命题陈述

设 $u$ 调和（ $\Delta u = 0$ ），定义在有界连通开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上，且在 $\overline{\Omega}$ 上连续，那么 $u$ 的最大值和最小值都在边界 $\partial\Omega$ 上取得；若 $u$ 在内部取得最大值或最小值，则 $u$ 为常数。

为什么成立?

调和函数本身没有局部的凸起或凹陷——它在任意一点的值恰好等于其在周围任意球面上取值的平均。一个总是等于局部平均值的函数不可能在内部真正出现峰值或谷值；任何极值都必须由边界强制产生。

证明思路

利用均值性质：对调和函数 $u$ 及任意球 $B(x_0,r) \subset \Omega$ ， $u(x_0)$ 等于 $u$ 在球面 $\partial B(x_0,r)$ 上的平均值。若 $u$ 在内部取得最大值 $M$ （在 $x_0$ 处），则任意这样的球面上的平均值等于 $M$ ，而球面上每一点的值都 $\le M$ ，这就迫使 $u \equiv M$ 在该球面上成立；把这一论证沿着覆盖连通区域的一串相互重叠的球传播下去，可得 $u \equiv M$ 在整个区域成立，因此最大值也在边界上取得，并且除非 $u$ 为常数，否则不可能是严格的内部最大值。对 $-u$ 应用同样的论证即得最小值原理。

用到此定理的主题

拉普拉斯方程

参考文献

David Gilbarg, Neil S. Trudinger (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order · DOI:10.1007/978-3-642-61798-0