定理已证明

诺特定理

命题陈述

对于由拉格朗日量 $L(q, \dot q, t)$ 描述的物理系统，若其作用量 $S = \int L\, dt$ 在坐标 $q$ 的一个连续单参数变换族（连续对称性）下保持不变，则存在相应的量 $Q(q, \dot q, t)$ ，它在欧拉–拉格朗日方程的每个解沿线上都守恒，即 $\dfrac{dQ}{dt} = 0$ 。

为什么成立?

物理定律的每一种连续对称性都在其中隐藏着一条守恒定律。如果把所有时钟都同步向前拨动同一时间量后物理定律看起来相同（时间平移对称性），则能量守恒；如果把所有位置都沿同一向量平移后看起来相同（空间平移对称性），则动量守恒；如果把整个系统旋转后看起来相同（旋转对称性），则角动量守恒。诺特定理是把『物理规律不在乎这种变换』精确转译为『这个量永不改变』的词典。

证明思路

设 $q_s(t)$ 是把参数为 $s$ 的对称变换施加于解 $q(t)$ 所得到的曲线族，且 $q_0 = q$ 。作用量的不变性意味着对每个解都有 $\frac{d}{ds}\Big|_{s=0} S[q_s] = 0$ 。展开该导数，并对含 $\dot{(\delta q)}$ 的项分部积分，可将其化为一个边界项加上一个正比于欧拉–拉格朗日表达式的项，后者在解上为零。剩下的正是沿解成立的 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\, \delta q\right) = 0$ ，由此确定守恒量为 $Q = \frac{\partial L}{\partial \dot q}\, \delta q$ ，其中 $\delta q = \frac{d}{ds}\big|_{s=0} q_s$ 是对称性的生成元。

提出者

埃米·诺特

证明者

1918 年证明埃米·诺特

用到此定理的主题

拉格朗日力学与哈密顿力学

参考文献

Emmy Noether (1918). Invariante Variationsprobleme
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics