公式已证明

欧拉–拉格朗日方程

命题陈述

设 $J[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(t, q(t), \dot q(t))\, dt$ 是定义在端点固定的曲线 $q(t)$ 上的泛函。曲线 $q$ 是 $J$ 的驻点（特别地，当它使 $J$ 取极小或极大值时）当且仅当对每个坐标 $q_i$ 都满足： $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ 。

为什么成立?

在系统可能连接两个固定事件的所有路径中，自然实际选取的路径是使『作用量』对微小扰动不敏感的那条——沿任意方向轻微扰动该路径，在一阶近似下作用量都不变。欧拉–拉格朗日方程正是保证任何这种扰动都不能使作用量增减的局部逐点条件，它把在所有路径上的全局搜索转化为一个可以逐步求解的微分方程。

证明思路

考虑变分 $q_\varepsilon(t) = q(t) + \varepsilon\, \eta(t)$ ，其中 $\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$ 。驻点条件意味着 $\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0} J[q_\varepsilon] = 0$ 对任意这样的 $\eta$ 都成立。在积分号下求导得 $\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\right) dt = 0$ ；对第二项分部积分（边界项因 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ 而消失）得 $\int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\eta\, dt = 0$ 。由于 $\eta$ 任意，变分法基本引理迫使方括号内的表达式恒等于零，这就是欧拉–拉格朗日方程。

提出者

1755 年提出莱昂哈德·欧拉 1755 年提出约瑟夫-路易·拉格朗日

证明者

莱昂哈德·欧拉约瑟夫-路易·拉格朗日

用到此定理的主题

拉格朗日力学与哈密顿力学

参考文献

I. M. Gelfand, S. V. Fomin (1963). Calculus of Variations
Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (2002). Classical Mechanics