拉格朗日力学与哈密顿力学

将路径扰动为 $q(t)+\epsilon\,\eta(t)$，其中 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$，并要求对任意这样的 $\eta$ 都有 $\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\big|_{\epsilon=0}=0$。展开到 $\epsilon$ 的一阶，并对 $\dot\eta$ 项分部积分（边界项因 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ 而消失），剩下对任意 $\eta$ 都有 $\int \left(\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k\,dt = 0$，这迫使括号内的表达式恒等于零。

第一步（建立变分）。 设 $q(t)$ 为真实路径，用小参数 $\epsilon$ 将其扰动为 $q(t)+\epsilon\,\eta(t)$，其中 $\eta(t)$ 是满足 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ 的任意光滑函数，使扰动路径与 $q(t)$ 有相同的端点。哈密顿原理要求对每个容许的 $\eta$，$S[q+\epsilon\eta]$ 在 $\epsilon=0$ 处保持稳定，即 $\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\big|_{\epsilon=0}=0$。

第二步（在积分号下求导）。 对 $S[q+\epsilon\eta]=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\epsilon\eta,\dot q+\epsilon\dot\eta,t)\,dt$ 关于 $\epsilon$ 求导并令 $\epsilon=0$，逐项应用链式法则得到 $$\frac{d}{d\epsilon}S[q+\epsilon\eta]\Big|_{\epsilon=0}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\eta_k+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\right)dt$$

**第三步（对 $\dot\eta_k$ 项分部积分）。** 对每个 $k$，将 $\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\,dt$ 分部积分，变为一个边界项减去一个体积分项：$$\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\dot\eta_k\,dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\eta_k\right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k\,dt$$

第四步（边界项消失）。 由固定端点条件 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ 可知 $\left[\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\eta_k\right]_{t_1}^{t_2}=0$，因此只剩下体积分，代回第二步得到 $$\int_{t_1}^{t_2}\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\eta_k(t)\,dt=0$$

第五步（变分法基本引理）。 该积分对任意在端点处为零的光滑 $\eta_k$ 都成立。若括号内的表达式 $\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}$ 在某内部点 $t_0$ 处非零且连续，则它在 $t_0$ 附近的一个小区间内保持定号；选取 $\eta_k$ 为支撑在该区间上的光滑鼓包函数（在括号为正处取正值，其余处为零），会使积分严格非零，产生矛盾。因此括号内的表达式必须恒等于零，对每个 $k$ 都有 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$——欧拉－拉格朗日方程。

对不变性 $L(q(s),\dot q(s),t)=L(q,\dot q,t)$ 关于 $s$ 在 $s=0$ 处求导，并利用欧拉－拉格朗日方程将 $\partial L/\partial q_k$ 改写为 $\frac{d}{dt}\left(\partial L/\partial \dot q_k\right)$，结果变为 $\frac{d}{dt}\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}=0$：这正是说明 $I$ 的时间导数为零，即守恒。

第一步（对不变性恒等式求导）。 $L$ 在该变换下不变意味着 $L(q(s),\dot q(s),t)=L(q,\dot q,t)$ 对 $s$ 恒成立。对两边关于 $s$ 求导并在 $s=0$ 处求值（利用 $q_k(0)=q_k$），由链式法则得到 $$\sum_k\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial \dot q_k}{\partial s}\right)\bigg|_{s=0}=0$$

第二步（在真实轨迹上使用欧拉－拉格朗日方程）。 因为 $q(t)$ 满足欧拉－拉格朗日方程，$\frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}$。将其代入第一步的第一项，就把 $\partial L/\partial q_k$ 替换成了对时间的全导数。

**第三步（交换对 $s$ 与对 $t$ 的求导）。** 由于 $s$ 与 $t$ 是相互独立的变量，$q_k(s,t)$ 的混合偏导数可交换：$\frac{\partial \dot q_k}{\partial s}=\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial s}$。这使得第一步的第二项也可以用对时间的全导数改写。

第四步（辨认出一个全导数）。 两项现在都由 $\frac{d}{dt}(\cdot)$ 构成，反过来运用乘积法则可得 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\cdot\frac{\partial q_k}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\cdot\frac{d}{dt}\frac{\partial q_k}{\partial s}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\right)$。代入第一步的恒等式后，它化简为单一的、等于零的对时间全导数：$$\frac{dI}{dt}=\frac{d}{dt}\sum_k\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\bigg|_{s=0}=0$$

第五步（得出守恒结论）。 沿运动方程的每个解，时间导数恒为零的量沿该解为常数。因此 $I=\sum_k \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\frac{\partial q_k}{\partial s}\big|_{s=0}$ 守恒，这就是诺特定理。

相空间中的速度场 $(\dot q,\dot p) = (\partial H/\partial p, -\partial H/\partial q)$ 是无散的：$\sum_k\left(\frac{\partial \dot q_k}{\partial q_k}+\frac{\partial \dot p_k}{\partial p_k}\right) = \sum_k\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_k \partial p_k} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_k \partial q_k}\right)=0$，这是因为混合偏导数可交换。无散流保持体积不变，其道理与不可压缩流体的散度定理相同。

第一步（相空间中的流）。 哈密顿方程 $(\dot q,\dot p)=\left(\frac{\partial H}{\partial p},-\frac{\partial H}{\partial q}\right)$ 在相空间上定义了一个速度场；每一点 $(q,p)$ 都沿此场运动，因此区域 $\Omega(t_1)$ 被流带到区域 $\Omega(t_2)$。雷诺输运定理给出所包围体积 $V(t)=\int_{\Omega(t)}dq\,dp$ 的变化率等于散度的通量：$$\frac{d}{dt}V(t)=\int_{\Omega(t)}\nabla\cdot(\dot q,\dot p)\,dq\,dp$$

第二步（计算散度）。 直接由哈密顿方程可得 $$\sum_k\left(\frac{\partial}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial}{\partial p_k}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)\right)=\sum_k\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_k\partial p_k}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_k\partial q_k}\right)=0$$ 这是因为光滑函数 $H$ 的二阶混合偏导数可交换（混合偏导数相等，施瓦茨定理）：$\partial^2H/\partial q_k\partial p_k=\partial^2H/\partial p_k\partial q_k$，因此两项恰好抵消。

第三步（零散度迫使变化率为零）。 将第二步的结果代入第一步的输运公式，对任意初始区域 $\Omega(t_1)$ 的选取，在每个时刻 $t$ 都有 $$\frac{d}{dt}V(t)=0$$

第四步（积分得到体积相等）。 导数恒为零的 $t$ 的函数是常数，因此对所有 $t$ 都有 $V(t)=V(t_1)$：演化区域的相空间体积从不改变，正如所述。