球的体积与表面积公式（阿基米德）

命题陈述

半径为 $r$ 的球的体积为 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$，表面积为 $A = 4\pi r^2$；二者都等于底面半径为 $r$、高为 $2r$ 的外切直圆柱的体积 $2\pi r^3$ 与全表面积 $6\pi r^2$ 的 $\dfrac{2}{3}$。

为什么成立?

用距离底面高度为 $z$ 的水平面，去截半径为 $r$ 的半球，以及一个底面半径为 $r$、高为 $r$ 且内部挖去一个底面半径为 $r$、高为 $r$ 的倒置圆锥的直圆柱。由勾股定理可知，半球的圆盘截面半径为 $\sqrt{r^2 - z^2}$，面积为 $\pi(r^2 - z^2)$，与挖空圆柱的圆环截面面积 $\pi r^2 - \pi z^2$ 完全相同。既然每个水平截面的面积都相等，半球的体积就是 $\pi r^3 - \dfrac{1}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$，从而整个球的体积为 $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$。

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分步证明

该定理暂无分步证明。