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定理已证明

卡瓦列里原理（祖暅原理）

命题陈述

若三维空间中的两个立体夹在两个平行平面 z=az = a 与 z=bz = b 之间，且平行于这两个平面的任意平面 z=tz = t（a≤t≤ba \le t \le b）截这两个立体所得截面的面积恒相等，即 A1(t)=A2(t)A_1(t) = A_2(t)，则这两个立体的体积相等：V1=V2V_1 = V_2。

为什么成立?

想象两摞高度均为 b−ab - a 的相同薄硬币。即便把其中一摞向侧面推斜或推成弯曲形状，在高度 tt 处的每一个水平截面切过的硬币面积依然满足 A1(t)=A2(t)A_1(t) = A_2(t)；水平滑动硬币既不会凭空产生也不会消灭体积，因此总体积 V1=V2V_1 = V_2 保持不变。

证明思路

由富比尼定理（或积分学中的截面体积公式），夹在 z=az = a 与 z=bz = b 之间、在高度 z=tz = t 处具有可积截面面积 Ai(t)A_i(t) 的立体，其体积等于定积分 Vi=∫abAi(t) dtV_i = \int_a^b A_i(t)\,dt。由于对任意 t∈[a,b]t \in [a, b] 都有 A1(t)=A2(t)A_1(t) = A_2(t)，它们在区间 [a,b][a, b] 上的积分必然相等：V1=∫abA1(t) dt=∫abA2(t) dt=V2V_1 = \int_a^b A_1(t)\,dt = \int_a^b A_2(t)\,dt = V_2。

用到此定理的主题

多面体及其体积球面、圆柱面、圆锥面定积分

相关定理

球的体积与表面积公式（阿基米德）微积分基本定理

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. Bonaventura Cavalieri (1635). Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
  2. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics