← 返回 幂级数与泰勒级数 › 泰勒定理 定理 已证明
泰勒定理 命题陈述
若 f f f a a a x x x n + 1 n+1 n + 1 f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + R n ( x ) f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x) f ( x ) = ∑ k = 0 n k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k + R n ( x ) R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} R n ( x ) = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − a ) n + 1 ξ \xi ξ a a a x x x
为什么成立?
光滑函数在某点附近可以很好地用一个与其函数值及各阶导数值（直到某阶）在该点相匹配的多项式来逼近；余项精确地衡量了这种逼近的好坏，通常随着项数增加而迅速缩小。
证明思路 固定 x x x g ( t ) = f ( x ) − ∑ k = 0 n f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k g(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k g ( t ) = f ( x ) − ∑ k = 0 n k ! f ( k ) ( t ) ( x − t ) k h ( t ) = ( x − t ) n + 1 h(t)=(x-t)^{n+1} h ( t ) = ( x − t ) n + 1 g ( x ) = h ( x ) = 0 g(x)=h(x)=0 g ( x ) = h ( x ) = 0 g ′ ( t ) = − f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n g'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n g ′ ( t ) = − n ! f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n h ′ ( t ) = − ( n + 1 ) ( x − t ) n h'(t)=-(n+1)(x-t)^n h ′ ( t ) = − ( n + 1 ) ( x − t ) n g , h g,h g , h a a a x x x g ( a ) − g ( x ) h ( a ) − h ( x ) = g ′ ( ξ ) h ′ ( ξ ) \frac{g(a)-g(x)}{h(a)-h(x)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} h ( a ) − h ( x ) g ( a ) − g ( x ) = h ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) ξ \xi ξ a a a x x x R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} R n ( x ) = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − a ) n + 1
