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定理已证明

罗尔定理

命题陈述

若 f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} 在 [a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则存在 c∈(a,b)c\in(a,b) 使得 f′(c)=0f'(c)=0。

为什么成立?

一条回到出发时确切高度的光滑路径，中途必定存在某个斜率为零的时刻——即在某个峰或谷处由上升转为下降（或反之）的那一瞬间。

证明思路

由最值定理，ff 在 [a,b][a,b] 上取得最大值与最小值。若两者都只在端点处取得，则由 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 知 ff 在 [a,b][a,b] 上为常数，此时任意 c∈(a,b)c\in(a,b) 都有 f′(c)=0f'(c)=0。否则某个极值在内部一点 c∈(a,b)c\in(a,b) 处取得；由于 ff 在该点可导，从两侧逼近的单侧差商必须相等，且分别满足 ≥0\ge 0 与 ≤0\le 0（极小值情形相反），从而迫使 f′(c)=0f'(c)=0。

用到此定理的主题

导数的应用

相关定理

中值定理（拉格朗日）最值定理

分步证明

该定理暂无分步证明。

参考文献

  1. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics
  2. James Stewart (2015). Calculus