维诺格拉多夫于1937年用圆法证明每个充分大的奇数都是三个素数之和——但他的证明没有给出“充分大”的显式界限。数十年的工作使这一阈值先变为有效可计算,后又逐步缩小:到2002年,刘明志与王天泽已将其降至约 $C\approx e^{3100}\approx 10^{1342}$,这个数大到用计算机逐一检验更小的奇数在物理上是不可能的(超过了大爆炸以来的皮秒数)。赫尔夫戈特的目标不是证明一个新的定性命题——那早在1937年已经解决——而是把阈值 $C$ 缩小到足以让直接计算在其下方接管的程度,从而最终使这一完整命题对每一个大于5的奇数 $n$ 都无条件成立。