在次弧上,$S(\alpha)$ 应当表现得像一个“随机”和,因而较小,但以足够强的指数严格证明这一点,正是把阈值降到 $10^{1300}$ 以下的主要障碍。赫尔夫戈特发展出更精细的“无对数”界——即对 $S(\alpha)/n$ 的估计只依赖于 $q$(邻近有理数的分母),而不会从通过沃恩恒等式对 $\Lambda$ 的常规分解中混入额外的 $\log n$ 因子——并结合大筛型不等式以及改编自巴尔班–韦霍夫–格雷厄姆平滑筛的技巧。正是这些更精细的界,使得次弧误差在 $n$ 低至 $10^{27}$ 时仍足够小,而不需要天文数字般大的 $n$。