韦达定理

命题陈述

对于首一多项式 $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$,设其根(计重数)为 $r_1,\dots,r_n$,则根的初等对称多项式与系数相差一个符号: $\sum_i r_i = -a_{n-1}$,$\sum_{i<j} r_ir_j = a_{n-2}$,……,$r_1r_2\cdots r_n=(-1)^n a_0$。

为什么成立?

如果已经知道一个多项式的所有根,就可以通过展开 $(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$ 重新构造出这个多项式。展开这个乘积会把这些根以各种方式混合起来——单个根的和、两两根之积的和,以此类推——而这些组合恰好就是系数。所以系数并非随意的数字,而是根之间组合方式的压缩记录。

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分步证明

该定理暂无分步证明。