引理已证明
佐恩引理
命题陈述
设 是一个非空偏序集,其中每条链(全序子集)在 中都有上界。那么 至少有一个极大元。
为什么成立?
要找极大元,可以不断走向严格更大的元素,从而构成一条链;假设保证这条链总有上界“封顶”,因此攀升的过程不可能永远进行下去而始终达不到顶端——极大元必定存在。
证明思路
假设选择公理成立,固定一个选择函数,用超限递归构造一条链:在每一步,如果当前链存在尚未加入链中的严格上界,就借助选择函数添加一个;假设保证在每个极限阶段也存在上界。这个过程不可能跨越所有序数(那将给出比任何集合都长的链),因此必在某个极大元处停止。反过来,把佐恩引理应用于按扩张排序的部分选择函数偏序集,即可得到选择公理——两者在 ZF 基础上等价。
用到此定理的主题
相关定理
分步证明
该定理暂无分步证明。
参考文献
- Max Zorn (1935). A remark on method in transfinite algebra
- Kenneth Kunen (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs