公理独立于公理系统

选择公理

命题陈述

对任意由非空集合组成的族 $(A_i)_{i\in I}$ ,都存在一个选择函数 $f$ ,使得 $f(i)\in A_i$ 对每个 $i\in I$ 都成立:即使 $I$ 是无限的,且没有给出明确的选取规则,也可以从族中每个集合里同时各取一个元素。

为什么成立?

对于有限多个非空集合,从每个集合中各取一个元素显然是可以做到的。选择公理把这种看似显而易见的能力推广到任意的、甚至不可数的集合族上,而不要求给出统一的选取规则。

证明思路

哥德尔(1938年)构造了可构成宇宙 $L$ ,这是一个使 AC 成立的 ZF 模型,证明了 $\mathrm{ZF}+\mathrm{AC}$ 相对于 ZF 是相容的。科恩(1963年)发明了力迫法,构造出 $\mathrm{ZF}+\neg\mathrm{AC}$ 的模型,证明 AC 不能仅从 ZF 推出。两者共同确立了 AC 相对于 ZF 的独立性。

证明者

1963 年证明库尔特·哥德尔 1963 年证明保罗·科恩

用到此定理的主题

ZFC公理系统

参考文献

Kurt Gödel (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis · DOI:10.1515/9781400881635
Paul J. Cohen (1963). The Independence of the Continuum Hypothesis