Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 1994

Đề thi

Bài 1Cho hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ với mọi số thực $x,y$ ; $f(0)\ge f(x)$ với $x\in[0,1)$ ; và $-f(-1)=f(1)=1$ . Hãy tìm tất cả các hàm như vậy.Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác không suy biến $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ , trực tâm $H$ và bán kính ngoại tiếp $R$ . Chứng minh rằng $|OH|<3R$ .Các cách giải: 1
Bài 3Tìm tất cả số nguyên dương $n$ có thể viết dưới dạng $n=a^2+b^2$ , trong đó $a,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và mọi số nguyên tố $p <= sqrt(n)$ đều chia $ab$ .Các cách giải: 1
Bài 4Có tồn tại một tập vô hạn các điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa mọi cặp điểm đều là số hữu tỉ hay không?Các cách giải: 1
Bài 5Danh sách $A$ chứa các số thập phân $10^k$ với $k\ge1$ là số nguyên. Danh sách $B$ và $C$ lần lượt chứa các số này khi viết ở cơ số $2$ và cơ số $5$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n>1$ , đúng một trong hai danh sách $B$ , $C$ chứa đúng một số có đúng $n$ chữ số.Các cách giải: 1