MathLabs

Bài 3

Cho k≥14k\ge14 là số nguyên và pkp_k là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn nghiêm ngặt kk. Có thể giả sử pk≥3k/4p_k\ge3k/4. Cho nn là hợp số. Chứng minh: (a) nếu n=2pkn=2p_k thì nn không chia hết (n−k)!(n-k)!; (b) nếu n>2pkn>2p_k thì nn chia hết (n−k)!(n-k)!.
Bước 1 trên 5: Xét trường hợp biên n=2pk
Bước trướcBước tiếp
n=2pk  ⟹  n−k=2pk−k<pkn=2p_k\implies n-k=2p_k-k<p_k
Phân tích chi tiết

Vì pk<kp_k<k, ta có n−k=2pk−k<2pk−pk=pkn-k=2p_k-k<2p_k-p_k=p_k. Do đó (n−k)!(n-k)! không chứa bội nào của số nguyên tố pkp_k, nên không chia hết cho pkp_k và vì thế không thể chia hết cho n=2pkn=2p_k.