Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2005
Đề thi
- Bài 1Chứng minh rằng với mọi số thực vô tỉ a, tồn tại các số thực vô tỉ b và b' sao cho a+b và ab' hữu tỉ, còn ab và a+b' vô tỉ.Các cách giải: 1
- Bài 2Cho a,b,c là các số thực dương với abc=8. Chứng minh tổng chu kỳ của a bình phương chia căn bậc hai của (1+a lập phương)(1+b lập phương) không nhỏ hơn 4/3.Các cách giải: 1
- Bài 3Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có thể cắt thành 2005 tam giác bằng nhau.Các cách giải: 1
- Bài 4Trong một thị trấn n nhân n, các ngôi nhà được đánh số (i,j), với (1,1) ở góc trên trái. Ban đầu nhà (1,c) cháy, trong đó c không vượt quá n/2. Mỗi khoảng thời gian đơn vị, lính cứu hỏa bảo vệ một nhà chưa cháy, rồi lửa lan tới mọi nhà chưa được bảo vệ kề với các nhà đang cháy ở đầu khoảng. Nhà đã bảo vệ vẫn được bảo vệ. Hỏi nhiều nhất có thể cứu được bao nhiêu nhà? Hai nhà kề nhau khi đúng một tọa độ khác nhau 1.Các cách giải: 1
- Bài 5Trong tam giác ABC, các điểm M,N lần lượt nằm trên AB,AC sao cho MB=BC=CN. Gọi R,r lần lượt là bán kính ngoại tiếp và nội tiếp của ABC; hãy biểu diễn MN/BC theo R,r.Các cách giải: 1