MathLabs

Bài 5

Cho nn là một số nguyên dương. Một cặp bộ nn số (a1,…,an)(a_1,\ldots,a_n) và (b1,…,bn)(b_1,\ldots,b_n) với các phần tử nguyên được gọi là tinh tế nếu ∣a1b1+⋯+anbn∣≤1|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\le1. Xác định số lượng lớn nhất các bộ nn số phân biệt với các phần tử nguyên sao cho hai bộ bất kỳ trong chúng tạo thành một cặp tinh tế.
Bước 1 trên 5: Dựng n2+n+1n^2+n+1 bộ tinh tế đôi một
Bước trướcBước tiếp
{0}∪{±ei}i=1n∪{ei+ej, ei−ej}i<j  ⟹  1+2n+n(n−1)=n2+n+1\{0\}\cup\{\pm e_i\}_{i=1}^n\cup\{e_i+e_j,\ e_i-e_j\}_{i<j} \implies 1+2n+n(n-1)=n^2+n+1
Phân tích chi tiết

Lấy bộ không; 2n2n bộ có một phần tử bằng 11 hoặc −1-1 tại một vị trí; và, với mỗi cặp vị trí i<ji<j trong số (n2)\binom n2 cặp, hai bộ có các phần tử (1,1)(1,1) và (1,−1)(1,-1) tại vị trí i,ji,j và bằng không ở nơi khác. Tổng số là 1+2n+2(n2)=1+2n+n(n−1)=n2+n+11+2n+2\binom n2=1+2n+n(n-1)=n^2+n+1.