Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1969

Đề thi

Bài 1Chứng minh có vô hạn số tự nhiên $a$ sao cho $n^4+a$ không là số nguyên tố với mọi số tự nhiên $n$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các hằng số thực và $x$ là số thực. Đặt $f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x)$ . Biết $f(x_1)=f(x_2)=0$ , chứng minh $x_2-x_1=m\pi$ với một số nguyên $m$ .Các cách giải: 1
Bài 3Với mỗi $k=1,2,3,4,5$ , hãy tìm điều kiện cần và đủ của $a>0$ để tồn tại một tứ diện có $k$ cạnh dài $a$ và $6-k$ cạnh còn lại dài $1$ .Các cách giải: 1
Bài 4Một cung nửa đường tròn $\gamma$ có đường kính $AB$ . Gọi $C$ là điểm trên cung khác $A,B$ , và $D$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$ . Ba đường tròn $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ ; $\gamma_1$ nội tiếp tam giác $ABC$ , còn $\gamma_2$ và $\gamma_3$ tiếp xúc với $CD$ và $\gamma$ , ở hai phía đối nhau của $CD$ . Chứng minh ba đường tròn có một tiếp tuyến chung thứ hai.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n>4$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất $\binom{n-3}{2}$ tứ giác lồi có đỉnh là các điểm đã cho.Các cách giải: 1
Bài 6Với các số thực $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ thỏa $x_1>0$ , $x_2>0$ , $x_1y_1>z_1^2$ và $x_2y_2>z_2^2$ , chứng minh $\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}$ . Hãy cho điều kiện cần và đủ để xảy ra dấu bằng.Các cách giải: 1