竞赛 › 国际数学奥林匹克 › 1969年 第1题 证明存在无穷多个自然数 a a a n n n n 4 + a n^4+a n 4 + a 解法: 1 第2题 设 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a 1 , a 2 , … , a n x x x f ( x ) = cos ( a 1 + x ) + 1 2 cos ( a 2 + x ) + ⋯ + 1 2 n − 1 cos ( a n + x ) f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x) f ( x ) = cos ( a 1 + x ) + 2 1 cos ( a 2 + x ) + ⋯ + 2 n − 1 1 cos ( a n + x ) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 0 f(x_1)=f(x_2)=0 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 0 m m m x 2 − x 1 = m π x_2-x_1=m\pi x 2 − x 1 = mπ 解法: 1 第3题 对每个 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 k=1,2,3,4,5 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 a > 0 a>0 a > 0 k k k a a a 6 − k 6-k 6 − k 1 1 1 解法: 1 第4题 以 A B AB A B γ \gamma γ A , B A,B A , B C C C D D D C C C A B AB A B γ 1 , γ 2 , γ 3 \gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 γ 1 , γ 2 , γ 3 A B AB A B γ 1 \gamma_1 γ 1 A B C ABC A B C γ 2 \gamma_2 γ 2 γ 3 \gamma_3 γ 3 C D CD C D γ \gamma γ C D CD C D 解法: 1 第5题 给定平面上 n > 4 n>4 n > 4 ( n − 3 2 ) \binom{n-3}{2} ( 2 n − 3 ) 解法: 1 第6题 对于满足 x 1 > 0 x_1>0 x 1 > 0 x 2 > 0 x_2>0 x 2 > 0 x 1 y 1 > z 1 2 x_1y_1>z_1^2 x 1 y 1 > z 1 2 x 2 y 2 > z 2 2 x_2y_2>z_2^2 x 2 y 2 > z 2 2 x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 8 ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − ( z 1 + z 2 ) 2 ≤ 1 x 1 y 1 − z 1 2 + 1 x 2 y 2 − z 2 2 \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2} ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − ( z 1 + z 2 ) 2 8 ≤ x 1 y 1 − z 1 2 1 + x 2 y 2 − z 2 2 1 解法: 1 首页 知识库 重大问题 测验 数学家 竞赛