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国际数学奥林匹克 · 1973年

试题

  1. 第1题设点 OO 在线 ll 上。向量 OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} 都是单位向量，点 PiP_i 与直线 ll 共面，且所有 PiP_i 都位于直线 ll 所确定的同一半平面内。证明当 nn 为奇数时，∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1。解法: 1
  2. 第2题是否存在一个不共面的有限空间点集 MM，使得任意两点 A,B∈MA,B\in M 都能找到另外两点 C,D∈MC,D\in M，使直线 ABAB 与 CDCD 平行但不相同？解法: 1
  3. 第3题求实数 a,ba,b 使方程 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 至少有一个实根时 a2+b2a^2+b^2 的最小值。解法: 1
  4. 第4题士兵要检查一个等边三角形区域内的地雷。探测器作用半径等于三角形高的一半，士兵从一个顶点出发。求检查整个区域的最短路径。解法: 1
  5. 第5题令 GG 是所有形如 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R、f(x)=ax+bf(x)=ax+b（a,ba,b 为实数且 a≠0a\ne0）的非常值仿射函数组成的集合。假设 f,g∈Gf,g\in G 时 g∘f∈Gg\circ f\in G，每个 f∈Gf\in G 的逆函数 f−1f^{-1} 也属于 GG，且每个 f∈Gf\in G 都有不动点。证明存在一个 k∈Rk\in\mathbb R 被所有函数固定。解法: 1
  6. 第6题给定正数 a1,…,ana_1,\ldots,a_n 与 0<q<10<q<1。求实数 b1,…,bnb_1,\ldots,b_n，使得：(1) 对每个 ak<bka_k<b_k 有 kk；(2) 对 q<bk+1/bk<1/qq<b_{k+1}/b_k<1/q 有 k=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1；(3) ∑k=1nbk<1+q1−q∑k=1nak\sum_{k=1}^n b_k<\frac{1+q}{1-q}\sum_{k=1}^n a_k。解法: 1