Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1973

Đề thi

Bài 1Cho $O$ nằm trên đường thẳng $l$ . Các vectơ $\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n}$ là vectơ đơn vị; các điểm $P_i$ và $l$ cùng nằm trong một mặt phẳng, mọi $P_i$ ở cùng một nửa mặt phẳng bờ $l$ . Chứng minh rằng nếu $n$ lẻ thì $\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1$ .Các cách giải: 1
Bài 2Có tồn tại hay không một tập hữu hạn $M$ các điểm trong không gian, không đồng phẳng, sao cho với mọi hai điểm $A,B\in M$ có hai điểm khác $C,D\in M$ để các đường thẳng $AB$ và $CD$ song song nhưng khác nhau?Các cách giải: 1
Bài 3Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$ với $a,b$ thực sao cho phương trình $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực.Các cách giải: 1
Bài 4Một người lính phải dò mìn trong một vùng hình tam giác đều. Bán kính tác dụng của máy dò bằng một nửa đường cao tam giác, và anh ta bắt đầu tại một đỉnh. Hãy xác định đường đi ngắn nhất để kiểm tra toàn vùng.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $G$ là tập các hàm không hằng $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dạng $f(x)=ax+b$ , với $a,b$ thực và $a\ne0$ . Giả sử: nếu $f,g\in G$ thì $g\circ f\in G$ ; mọi hàm ngược $f^{-1}$ cũng thuộc $G$ ; và mỗi $f\in G$ có điểm bất động. Chứng minh tồn tại $k\in\mathbb R$ là điểm bất động của mọi $f\in G$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a_1,\ldots,a_n$ là các số dương và $0<q<1$ . Tìm các số thực $b_1,\ldots,b_n$ sao cho (1) $a_k<b_k$ với mọi $k$ ; (2) $q<b_{k+1}/b_k<1/q$ với $k=1,\ldots,n-1$ ; và (3) $\sum_{k=1}^n b_k<\frac{1+q}{1-q}\sum_{k=1}^n a_k$ .Các cách giải: 1