Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1983

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập các số thực dương, nhận giá trị thực dương, thỏa mãn hai điều kiện: (i) $f(xf(y)) = yf(x)$ với mọi số thực dương $x, y$ ; (ii) $f(x) \to 0$ khi $x \to \infty$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $A$ là một trong hai giao điểm phân biệt của hai đường tròn đồng phẳng không bằng nhau $C_1,C_2$ , có tâm lần lượt $O_1,O_2$ . Một tiếp tuyến chung tiếp xúc tại $P_1,P_2$ , tiếp tuyến kia tại $Q_1,Q_2$ . Gọi $M_1,M_2$ lần lượt là trung điểm của $P_1Q_1,P_2Q_2$ . Chứng minh $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, không hai số nào có ước chung lớn hơn $1$ . Chứng minh $2abc-ab-bc-ca$ là số nguyên lớn nhất không thể biểu diễn dưới dạng $xbc+yca+zab$ , trong đó $x,y,z$ là các số nguyên không âm.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $ABC$ là tam giác đều và $\mathcal E$ là hợp của ba cạnh. Hãy xác định xem trong mọi phân hoạch $\mathcal E$ thành hai tập con rời nhau, có luôn một tập chứa ba đỉnh của một tam giác vuông hay không. Hãy giải thích.Các cách giải: 1
Bài 5Có thể chọn $1983$ số nguyên dương đôi một khác nhau, đều không vượt quá $10^5$ , sao cho không có ba số nào là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng hay không? Hãy giải thích.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0$ . Xác định khi nào xảy ra đẳng thức.Các cách giải: 1