Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1995

Đề thi

Bài 1Cho $A,B,C,D$ là bốn điểm phân biệt trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Hai đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$ và $Y$ . Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$ . Lấy $P$ trên $XY$ , khác $Z$ . Đường $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $C$ và $M$ , còn đường $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại $B$ và $N$ . Chứng minh các đường $AM$ , $DN$ và $XY$ đồng quy.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a,b,c$ là các số thực dương với $abc=1$ . Chứng minh $\frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32$ .Các cách giải: 1
Bài 3Xác định mọi số nguyên $n>3$ sao cho tồn tại $n$ điểm $A_1,\ldots,A_n$ trên mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng, và các số thực $r_1,\ldots,r_n$ sao cho với mọi $i,j,k$ phân biệt, diện tích tam giác $A_iA_jA_k$ bằng $r_i+r_j+r_k$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm giá trị lớn nhất của $x_0$ sao cho tồn tại dãy số thực dương $x_0,x_1,\ldots,x_{1995}$ với $x_0=x_{1995}$ và với $i=1,\ldots,1995$ có $x_{i-1}+\frac2{x_{i-1}}=2x_i+\frac1{x_i}$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $ABCDEF$ là lục giác lồi với $AB=BC=CD$ và $DE=EF=FA$ , sao cho $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$ . Giả sử $G$ và $H$ nằm trong lục giác và $\angle AGB=\angle DHE=120^\circ$ . Chứng minh $AG+GB+GH+DH+HE\ge CF$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Có bao nhiêu tập con $p$ phần tử $A$ của $\{1,2,\ldots,2p\}$ sao cho tổng các phần tử của nó chia hết cho $p$ ?Các cách giải: 1