Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1997

Đề thi

Bài 1In plane, điểms với nguyên coordinates là đỉnh của unit bình phươngs, colored alternately black và white as trên a chessbảng. Fhoặc số nguyên dương $m,n$ , consider a right tam giác với nguyên-coordinate đỉnh và legs của độ dàlà $m,n$ along bình phương cạnh. Cho $S_1$ be black diện tích và $S_2$ white diện tích. Define $f(m,n)=|S_1-S_2|$ Bản dịch: . (a) Calculate $f(m,n)$ Bản dịch: when $m,n$ là both even hoặc both odd. (b) Chứng minh $f(m,n)\le\max(m,n)/2$ . (c) Chứng minh rằng no hằng số $C$ Bản dịch: satisfies $f(m,n)<C$ với mọi $m,n$ .Các cách giải: 1
Bài 2The góc tại $A$ là smallest góc trong tam giác $ABC$ . The điểms $B,C$ divide its circumđường tròn inđến two arcs. Cho $U$ be an interihoặc điểm của arc $BC$ không containing $A$ . The perpendicular bisectors của $AB$ và $AC$ meet đường thẳng $AU$ tại $V$ và $W$ , respectively. The đường thẳngs $BV$ và $CW$ meet tại $T$ . Chứng minh rằng $AU=TB+TC$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $x_1,x_2,\ldots,x_n$ be số thực satisfying $|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1$ và $|x_i|\le(n+1)/2$ với mọi $i$ . Chứng minh rằng there là a hoán vị $y_1,\ldots,y_n$ của $x_i$ sao cho $|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\le(n+1)/2$ .Các cách giải: 1
Bài 4Bản dịch: An $n\times n$ ma trận whose entries belong đến $S=\{1,2,\ldots,2n-1\}$ là called a silver ma trận if, cho mỗi $i$ , $i$ th hàng together với $i$ th cột contains tất cả elements của $S$ . Chứng minh rằng (a) there là no silver ma trận cho $n=1997$ ; (b) silver matrices exist cho infinitely many $n$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả pairs $(a,b)$ của số nguyên dương satisfying $a^{b^2}=b^a$ .Các cách giải: 1
Bài 6Fhoặc mỗi số nguyên dương $N$ Bản dịch: , let $f(N)$ be số của ways đến represent $N$ as a tổng của powers của $2$ với non-negative nguyên exponents; order của tổngmands là ignored. Fhoặc example, $f(4)=4$ . Chứng minh rằng với mọi nguyên $n\ge3$ , $2^{n^2/4}<f(2^n)<2^{n^2/2}$ .Các cách giải: 1