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国际数学奥林匹克 · 1997年

试题

  1. 第1题In plane, 点s 满足整数 coordinates 是顶点 的unit 平方s, colored alternately black 且white as 上a chess棋盘. F或正整数 m,n m,n , consider a right 三角形 满足整数-coordinate 顶点 且legs 的长度s m,n m,n along 平方 边. 设 S1 S_1 be black 面积 且 S2 S_2 white 面积. Define f(m,n)=∣S1−S2∣ f(m,n)=|S_1-S_2| 译文：. (a) Calculate f(m,n) f(m,n) 译文： when m,n m,n 是both even 或both odd. (b) 证明 f(m,n)≤max⁡(m,n)/2 f(m,n)\le\max(m,n)/2. (c) 证明 no 常数 C C 译文： satisfies f(m,n)<C f(m,n)<C 对所有 m,n m,n .解法: 1
  2. 第2题The 角 在 A A 是smallest 角 中三角形 ABC ABC . The 点s B,C B,C divide its circum圆 in到two arcs. 设 U U be an interi或点 的arc BC BC 不containing A A . The perpendicular bisectors 的 AB AB 且 AC AC meet 直线 AU AU 在 V V 且 W W , respectively. The 直线s BV BV 且 CW CW meet 在 T T . 证明 AU=TB+TC AU=TB+TC .解法: 1
  3. 第3题设 x1,x2,…,xn x_1,x_2,\ldots,x_n be 实数 satisfying ∣x1+x2+⋯+xn∣=1|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1 且 ∣xi∣≤(n+1)/2|x_i|\le(n+1)/2 对每个 i i . 证明 there 是a 排列 y1,…,yn y_1,\ldots,y_n 的 xi x_i 使得 ∣y1+2y2+⋯+nyn∣≤(n+1)/2|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\le(n+1)/2.解法: 1
  4. 第4题译文：An n×n n\times n 矩阵 whose entries belong 到 S={1,2,…,2n−1} S=\{1,2,\ldots,2n-1\} 是called a silver 矩阵 if, 对于每个 i i , i i th 行 together 满足 i i th 列 contains 所有elements 的 S S . 证明 (a) there 是no silver 矩阵 对于 n=1997 n=1997; (b) silver matrices exist 对于infinitely many n n .解法: 1
  5. 第5题求出所有 pairs (a,b)(a,b) 的正整数 satisfying ab2=ba a^{b^2}=b^a .解法: 1
  6. 第6题F或每个正整数 N N 译文：, let f(N) f(N) be 数 的ways 到represent N N as a 和 的powers 的 22 满足non-negative 整数 exponents; order 的和mands 是ignored. F或example, f(4)=4 f(4)=4. 证明 对每个 整数 n≥3 n\ge3, 2n2/4<f(2n)<2n2/22^{n^2/4}<f(2^n)<2^{n^2/2}.解法: 1