Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2000

Đề thi

Bài 1Two đường tròns $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ intersect tại two điểms $M$ và $N$ . Cho $AB$ be commtrên tangent đến these đường tròns tại $A$ và $B$ , respectively, so thtại $M$ lies closer đến $AB$ Bản dịch: than $N$ . Cho đường thẳng through $M$ parallel đến $AB$ Bản dịch: meet $\Gamma_1$ agatrong tại $C$ và $\Gamma_2$ agatrong tại $D$ Bản dịch: . Lines $AC$ và $BD$ meet tại $E$ ; đường thẳngs $AN$ và $CD$ meet tại $P$ ; đường thẳngs $BN$ và $CD$ meet tại $Q$ . Chứng minh rằng $EP=EQ$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a,b,c$ be số thực dương với $abc=1$ . Chứng minh rằng $(a-1+\frac1b)(b-1+\frac1c)(c-1+\frac1a)\le 1$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n\ge2$ be a số nguyên dương. Initially there là $n$ fleas trên a horizontal đường thẳng, không tất cả tại same điểm. Fhoặc a positive real số $\lambda$ , a bước đi chooses fleas tại $A$ và $B$ với $A$ đến left của $B$ , và lets flea tại $A$ jump đến $C$ đến right của $B$ so thtại $BC=\lambda AB$ . Xác định tất cả $\lambda$ sao cho, với mọi điểm $M$ và mỗi initial position, a finite dãy của bước đlà puts tất cả fleas đến right của $M$ .Các cách giải: 1
Bài 4A magician has one hundred cards sốed $1$ đến $100$ . He puts them inđến three boxes, red, white và blue, mỗi nonempty. A member selects two boxes, chooses one card từ each, và announces their tổng. Given thlà tổng, magician identifies box từ which no card was chosen. How many assignments của cards đến three boxes make thlà always possible?Các cách giải: 1
Bài 5Does there exist a số nguyên dương $n$ sao cho $n$ Bản dịch: has exactly $2000$ distinct nguyên tố ướcs và $n$ Bản dịch: divides $2^n+1$ ?Các cách giải: 1
Bài 6Cho $AH_1,BH_2,CH_3$ be altitudes của an acute tam giác $ABC$ . The inđường tròn của $ABC$ Bản dịch: touches $BC,CA,AB$ tại $T_1,T_2,T_3$ , respectively. Reflect đường thẳngs $H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1$ trong đường thẳngs $T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1$ , respectively. Chứng minh rằng three reflected đường thẳngs form a tam giác whose đỉnh lie trên inđường tròn.Các cách giải: 1