Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2009

Đề thi

Bài 1Cho $n, k \ge 2$ là các số nguyên dương và $a_1, a_2, \dots, a_k$ là các số nguyên phân biệt thuộc tập $\{1, 2, \dots, n\}$ sao cho $n$ chia hết $a_i(a_{i+1} - 1)$ với mọi $i = 1, 2, \dots, k - 1$ . Chứng minh rằng $n$ không chia hết $a_k(a_1 - 1)$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho tam giác $ABC$ với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Các điểm $P$ và $Q$ là các điểm trong của cạnh $CA$ và $AB$ tương ứng. Gọi $K$ , $L$ , $M$ lần lượt là trung điểm các đoạn $BP$ , $CQ$ , $PQ$ , và gọi $\Gamma$ là đường tròn đi qua $K$ , $L$ , $M$ . Giả sử đường thẳng $PQ$ tiếp xúc với đường tròn $\Gamma$ . Chứng minh rằng $OP = OQ$ .Các cách giải: 1
Bài 3Giả sử $s_1, s_2, s_3, \dots$ là một dãy số nguyên dương tăng thực sự sao cho hai dãy con $s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots$ và $s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots$ đều là cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy $s_1, s_2, s_3, \dots$ bản thân nó cũng là một cấp số cộng.Các cách giải: 1
Bài 4Cho tam giác $ABC$ với $AB = AC$ . Đường phân giác của $\angle CAB$ và $\angle ABC$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ lần lượt tại $D$ và $E$ . Gọi $K$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ADC$ . Giả sử $\angle BEK = 45^\circ$ . Tìm tất cả các giá trị có thể của $\angle CAB$ .Các cách giải: 1
Bài 5Xác định tất cả các hàm $f$ từ tập số nguyên dương vào tập số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương $a$ và $b$ , tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài các cạnh là $a$ , $f(b)$ và $f(b+f(a)-1)$ . (Một tam giác không suy biến là tam giác có các đỉnh không thẳng hàng.)Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a_1,\ldots,a_n$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau và $M$ là một tập gồm $n-1$ số nguyên dương không chứa $s=a_1+\cdots+a_n$ . Một con châu chấu bắt đầu ở $0$ và thực hiện $n$ lần nhảy sang phải, với độ dài $a_1,\ldots,a_n$ theo một thứ tự nào đó. Chứng minh rằng có thể chọn thứ tự để châu chấu không bao giờ đáp xuống một điểm thuộc $M$ .Các cách giải: 1