Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2019

Đề thi

Bài 1Cho $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho, với mọi số nguyên $a$ và $b$ , $f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).$ Các cách giải: 1
Bài 2Trong tam giác $ABC$ , điểm $A_1$ nằm trên cạnh $BC$ và điểm $B_1$ nằm trên cạnh $AC$ . Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $AA_1$ và $BB_1$ , sao cho $PQ$ song song với $AB$ . Gọi $P_1$ là một điểm trên đường thẳng $PB_1$ , sao cho $B_1$ nằm nghiêm ngặt giữa $P$ và $P_1$ , và $\angle PP_1C=\angle BAC$ . Tương tự, gọi $Q_1$ là điểm trên đường thẳng $QA_1$ , sao cho $A_1$ nằm nghiêm ngặt giữa $Q$ và $Q_1$ , và $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ . Chứng minh rằng các điểm $P,Q,P_1,Q_1$ đồng viên.Các cách giải: 1
Bài 3Một mạng xã hội có $2019$ người dùng, một số cặp trong đó là bạn bè (quan hệ bạn bè là đối xứng). Các sự kiện sau có thể xảy ra lặp đi lặp lại, mỗi lần một sự kiện: ba người dùng $A$ , $B$ và $C$ sao cho $A$ là bạn của cả $B$ và $C$ , nhưng $B$ và $C$ không phải là bạn, thay đổi quan hệ bạn bè của họ sao cho $B$ và $C$ hiện là bạn của nhau, còn $A$ không còn là bạn của $B$ và cũng không còn là bạn của $C$ . Mọi quan hệ bạn bè khác giữ nguyên. Ban đầu, $1010$ người dùng mỗi người có $1009$ bạn, và $1009$ người dùng mỗi người có $1010$ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một dãy các sự kiện như vậy sau đó mỗi người dùng là bạn của nhiều nhất một người dùng khác.Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các cặp $(k,n)$ số nguyên dương sao cho $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).$ Các cách giải: 1
Bài 5Ngân hàng Bath phát hành các đồng xu có mặt ở một phía và mặt ở phía kia. Harry có đồng xu này, xếp thành một hàng từ trái sang phải. Anh lặp lại thao tác sau: nếu có đúng đồng xu ngửa mặt , anh lật đồng xu thứ từ trái sang; nếu không thì tất cả đồng xu đều là và anh dừng lại. Chẳng hạn, khi , quá trình bắt đầu từ là , dừng sau ba thao tác. (a) Chứng minh rằng với mỗi cấu hình ban đầu, Harry dừng sau hữu hạn thao tác. (b) Với mỗi cấu hình ban đầu , gọi là số thao tác trước khi dừng. Hãy xác định giá trị trung bình của trên tất cả cấu hình ban đầu. $H$ $T$ $n$ $k>0$ $H$ $k$ $T$ $n=3$ $THT$ $THT\to HHT\to HTT\to TTT$ $C$ $L(C)$ $L(C)$ $2^n$ Các cách giải: 1
Bài 6Cho là tâm nội tiếp của tam giác nhọn với . Đường tròn nội tiếp của tiếp xúc với , , lần lượt tại , , . Đường thẳng qua vuông góc với lại cắt tại (khác ). Đường thẳng lại cắt tại (khác ). Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác và lại cắt nhau tại (khác ). Chứng minh rằng hai đường thẳng và gặp nhau trên đường thẳng qua vuông góc với . $I$ $ABC$ $AB\ne AC$ $\omega$ $ABC$ $BC$ $CA$ $AB$ $D$ $E$ $F$ $D$ $EF$ $\omega$ $R$ $D$ $AR$ $\omega$ $P$ $R$ $PCE$ $PBF$ $Q$ $P$ $DI$ $PQ$ $A$ $AI$ Các cách giải: 1