導関数

$x_0$ で明確な接線の傾きをもつ曲線は、そこで跳躍することができない：$f(x)-f(x_0) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \cdot (x-x_0)$ と書くと、$x \to x_0$ のとき最初の因子は有限な値 $f'(x_0)$ に近づき、2番目の因子は $0$ に近づくので、積は $0$ に近づき $f(x) \to f(x_0)$ となる。

これはまさに上の議論そのものである：両方の極限が存在するとき積の極限は極限の積に等しく、仮定より $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ は有限であり、$\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=0$ である。

$f(x)g(x)$ を、幅 $f(x)$・高さ $g(x)$ の長方形の面積だと考えよう。$x$ が動くと両方の辺の長さが同時に変化するため、長方形の面積は2つの理由で同時に変化する：幅が速度 $f'(x)$ で増え、高さは $g(x)$ のままである寄与 $f'(x)g(x)$ と、高さが速度 $g'(x)$ で増え、幅は $f(x)$ のままである寄与 $f(x)g'(x)$ である。よくある誤りは $(fg)' = f'g'$ と推測することだが、それはこの2つの別々の寄与を完全に無視している。

$\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$ を書き、分子に $-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)$ を挿入して $f(x+h)\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} + \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)$ に分ける。$h \to 0$ のとき、最初の差分商は $g'(x)$ に近づき、連続性により $f(x+h) \to f(x)$ となる。2番目の差分商は $f'(x)$ に近づき、和は $f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$ に近づく。

変化率は掛け合わさって合成される：$y=f(u)$ が $u$ の2倍の速さで変化し（つまり $f'=2$）、$u=g(x)$ が $x$ の3倍の速さで変化する（つまり $g'=3$）とすると、$x$ の小さな一歩に対して $u$ は $3$ 倍だけ動き、続いて $y$ は $u$ の動きの $2$ 倍だけ動く——したがって $y$ は $x$ の動きの $2 \times 3 = 6$ 倍だけ動く。非常によくある誤りは内側の導関数 $g'(x)$ を忘れることである：$\dfrac{d}{dx}\sin(x^2) \neq \cos(x^2)$ であり、正しい導関数は $2x\cos(x^2)$ である。

$f$ は $g(x)$ で微分可能であるから、$k$ が $0$ に近いとき $f(g(x)+k) - f(g(x)) = [f'(g(x)) + \varepsilon(k)]\,k$ と書ける。ここで $\varepsilon(k) \to 0$（$k \to 0$ のとき）。$k = g(x+h)-g(x)$ を代入すると、$g$ の連続性により $h \to 0$ のとき $0$ に近づき、$h$ で割ると $\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} = [f'(g(x))+\varepsilon(k)]\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \to f'(g(x))\,g'(x)$ となる。