解法: 平面の場合:$\mathbb{R}^2$ のすべての掛谷集合は次元2をもつ(デイヴィス、1971年)

具体的には、用いられる同値性は次の通りである:$\dim_M(K) = 2 \iff$ 任意の $\varepsilon>0$ に対しある $\delta_0$ が存在し、すべての $\delta<\delta_0$ について $K$ の $\delta$-近傍の面積が $\ge \delta^{\varepsilon}$ となる。$K$ は $N\sim\delta^{-1}$ 個の方向それぞれに単位線分を含むため、その $\delta$-近傍は対応する $N$ 本のチューブ $T_1,\dots,T_N$ の和集合を含む(これが予想の線分版がチューブ版を導く箇所である)。したがって $|\bigcup_i T_i|$ を何らかのべき $\delta^{o(1)}$ で下から評価すれば十分であり、続く2つのステップはまさに $\delta^{-2}/\log(1/\delta) \cdot \delta^2 = 1/\log(1/\delta)$ を与え、これは実際に $\delta$ のいかなる正のべきよりも遅く $0$ に近づく。