解法: 平面の場合:$\mathbb{R}^2$ のすべての掛谷集合は次元2をもつ(デイヴィス、1971年)

ステップ 3/4: コルドバの

L^2

トリック:チューブの重なりを数える

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ざっくり言うと

浅い角度 $\theta$ で交わる2本の $\delta\times 1$ チューブは、面積がおよそ $\delta^2/\theta$ の細い平行四辺形の中で重なる——ほぼ平行であるほど、より長く並走する。 $N$ 本すべてのチューブの指示関数を足し合わせて一つの「多重度関数」 $f$ を作ると、積分 $\int f^2$ はまさに、重複を込めてすべてのペアの重なり $|T_i\cap T_j|$ を数え上げる。 $N$ 個の方向がサイズ $\sim 1$ の角度範囲に $\delta$ 間隔で均等に広がっているため、すべてのペアにわたって $\delta^2/|\theta_i-\theta_j|$ を足し合わせると、調和級数的な発散——ただ一つの $\log N$ の因子——が生じるにとどまる。

|T_i \cap T_j| \lesssim \min\!\Big(\delta,\ \frac{\delta^2}{|\theta_i-\theta_j|}\Big),\qquad f = \sum_{i=1}^N \chi_{T_i}

詳しい解説

$\theta_i \approx i\delta$ ( $i=1,\dots,N$ )となるようチューブを並べる。 $T_i$ を固定する:各 $k=1,\dots,N$ に対して $|\theta_i-\theta_j|\approx k\delta$ を満たすチューブ $T_j$ は $O(1)$ 本あり、それぞれ重なり $\lesssim \delta^2/(k\delta)=\delta/k$ を与える( $k=0$ では $|T_i\cap T_i|=\delta$ で頭打ち)。よって $\sum_j |T_i\cap T_j| \lesssim \delta\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k} \sim \delta\log N$ 。 $N$ 通りの $i$ すべてについて足し合わせると、 $\int f^2 = \sum_{i,j}|T_i\cap T_j| \lesssim N\delta\log N \sim \log N$ ( $N\delta\sim 1$ を用いた)。ガスの講義ノートで使われるより標準的な長さ $N$ 、半径 $1$ のチューブ正規化(スケール変換で同値)に戻すと、よく引用される形 $\int f^2 \lesssim N^2\log N$ が得られる。