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解法: 平面の場合:$\mathbb{R}^2$ のすべての掛谷集合は次元2をもつ(デイヴィス、1971年)

ステップ 1/4: ベシコヴィッチのパラドックスとデイヴィスによる解決
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ざっくり言うと

1919年、ベシコヴィッチは長さ1の針をあらゆる方向へ連続的に回転させながら、掃過する領域の面積を任意に小さくできることを示した——針の軌跡の断片をアコーディオンのように押し縮めてほぼ完全に重ね合わせることができる。これは驚くべきことだ:無限に多くの方向それぞれに単位線分を丸ごと含む集合が、面積の意味では「薄く」なり得るのである。デイヴィスはより鋭い問いを立てた:面積がどれほど小さくとも、そのような集合はより精密な意味——ハウスドルフ次元——では依然として「厚い」はずではないか?彼は平面についてこれに「然り」と答え、R2\mathbb{R}^2 のいかなる掛谷集合も次元2未満にはなり得ないことを証明した。これにより、今日掛谷予想と呼ばれるものの n=2n=2 の場合が解決し、あらゆる次元での定式化が促された。

dim⁡H(K)=dim⁡M(K)=2for every Kakeya set K⊂R2\dim_H(K) = \dim_M(K) = 2 \quad \text{for every Kakeya set } K \subset \mathbb{R}^2
詳しい解説

形式的には、有界集合 EE の(下)ミンコフスキー次元は dim⁡M(E)=2−lim⁡δ→0log⁡∣Eδ∣log⁡(1/δ)\dim_M(E) = 2 - \lim_{\delta\to 0}\frac{\log|E_\delta|}{\log(1/\delta)} であり、EδE_\delta はその δ\delta-近傍である。ハウスドルフ次元は(一様スケールだけでなく)任意の被覆を通して定義され、常に dim⁡H(E)≤dim⁡M(E)\dim_H(E)\le \dim_M(E) を満たす。単一の線分だけで自明に dim⁡H(K)≥1\dim_H(K)\ge 1 が従う。デイヴィスの定理は非自明な逆向きの主張 dim⁡H(K)≥2\dim_H(K)\ge 2(したがって K⊂R2K\subset\mathbb{R}^2 による自明な上界とあわせて =2=2)であり、点と直線の間の射影的双対性と、ほとんどすべての方向への直交射影のもとで集合のハウスドルフ次元がどれだけ低下し得るかを評価するマーストランド型の定理とを組み合わせた、純粋に測度論的な議論によって証明された。

このステップの用語
掛谷(ベシコヴィッチ)集合
あらゆる方向 e∈Sn−1e \in S^{n-1} を向く単位線分を含む集合 K⊂RnK \subset \mathbb{R}^n。