解法: 平面の場合:$\mathbb{R}^2$ のすべての掛谷集合は次元2をもつ(デイヴィス、1971年)

Besicovitch (1919) は、あらゆる方向の単位線分を含みながら Lebesgue 測度零のコンパクト集合 $E\subset\mathbb{R}^2$ を構成した。その構成 — 「Perron 木」、三角形を滑らせてコピー同士を大きく重ねる — は、単位線分が全方向を連続的に動く集合（Kakeya の元の針問題）でも測度零の結論が生き残ることを示す。

測度零とは：任意の $\epsilon>0$ に対し $E$ は総面積 $<\epsilon$ の円盤で覆えるということ。それでも $E$ は非可算個の全長線分を含む。つまり2次元 Lebesgue 測度 — 「集合がどれだけ場所を占めるか」の素朴な物差し — は、全方向の存在を強制する構造を全く記録しない。これこそがこの問題を面白くするパラドックス：集合は面積的には無視できるのに、方向的内容では極大なのである。

出口は問題ではなく不変量を変えること。Hausdorff・Minkowski 次元は生の面積ではなく被覆数の解像度に対するスケーリングを測るので、測度零の集合でも次元 $2$ を強制されうる。Davies の定理はまさにその主張であり、証明の残りはそれを定量化する機械（管の離散化、重なり制御、Cauchy–Schwarz）を組み立てる。