解法: 3次元の場合:$\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合は次元3をもつ(ワン・ザール、2025年)

離散化する:$\mathbb{T}$ を $\mathbb{R}^3$ における $\delta$-分離された方向を向く、大きさ $\delta\times\delta\times 1$ の $\approx\delta^{-2}$ 本のチューブとする。それらの和集合が常に体積 $\gtrsim \delta^{3-d}$ をもつという主張を $K(d)$ と書く。単一のチューブから自明に $K(1)$ が従う。1970年代のコルドバの古典的な $L^2$ 論法(平面掛谷定理の背後にあるのと同じ発想)は $K(2)$ を与え、1995年のウルフの「ヘアブラシ」論法は $K(2.5)$ を与えたが、ブルガン、カッツ、タオらによる深い研究にもかかわらず、そこで30年間進展が止まっていた。ワンとザールの新しいプレプリントはあらゆる $\varepsilon>0$ に対して $K(3-\varepsilon)$ を証明し、これはまさに $\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合がハウスドルフ次元・ミンコフスキー次元ともに $3$ であるという主張である。