ウェアリングの問題

任意の整数指数 $k \ge 1$ に対してある有限の数 $g(k)$ が存在し、すべての正の整数 $n \ge 1$ は高々 $s \le g(k)$ 個の非負の $k$ 乗数の和 $n = x_1^k + x_2^k + \dots + x_s^k$ として表される。

1770年にエドワード・ウェアリングが提唱した問題に対し、ダフィット・ヒルベルトは1909年、単位球面上の $25$ 重積分から導かれる多項式恒等式を用いてすべての $k$ に対する $g(k)$ の存在（ヒルベルト・ウェアリングの定理）を証明した。1920年代にはG・H・ハーディとJ・E・リトルウッドが解析的な円周法を開発して定量的評価と十分大きい整数に必要な $k$ 乗数の個数 $G(k)$ を研究し、後にI・M・ヴィノグラードフ、華羅庚、トレヴァー・ウーリーらによって改良された。