大問題

近世

1. 1611
   ケプラー予想幾何学. 空間内で等しい球を最も密に積む方法は、おなじみの大砲の弾の積み方であり、その密度は $\pi/\sqrt{18}$ である。ヒルベルト #18トートーマス・ヘイルズ, 1998

20世紀

1. 1900
   ヒルベルトの第7問題算術と数論. 1934年にアレクサンドル・ゲルフォントとテオドール・シュナイダーによって独立に証明された。$\alpha \ne 0, 1$ が代数的数であり $\beta$ が代数的無理数であれば $\alpha^\beta$ は超越数となり、ヒルベルトが挙げた例 $2^{\sqrt{2}}$ と $e^\pi = (-1)^{-i}$ が一挙に解決された。ヒルベルト #7解決済み
2. 1900
   ヒルベルトの第10問題数学の基礎, 算術と数論. ディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを一般に判定するアルゴリズムは存在しない——ヒルベルトの第10問題への答えは否定的である。ヒルベルト #10ユーユーリ・マチャセビッチ, 1970
3. 1900
   ヒルベルトの第3問題幾何学. 面積が等しい任意の2つの多角形は有限個の断片に切り分けて互いに組み直すことができるが、マックス・デーンは1900年に3次元での類似が成り立たないことを証明した。体積が等しい立方体と正四面体は $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ において異なるデーン不変量を持ち、決して互いに切り貼りできない。ヒルベルト #3解決済み