大問題

近世

1. 1611
   ケプラー予想幾何学. 空間内で等しい球を最も密に積む方法は、おなじみの大砲の弾の積み方であり、その密度は $\pi/\sqrt{18}$ である。ヒルベルト #18トートーマス・ヘイルズ, 1998

19世紀

1. 1859
   リーマン予想算術と数論, 解析学. ゼータ関数は素数の分布を符号化しており、その零点は素数計数関数 $\pi(x)$ の誤差項を支配する。リーマンは1859年、自分が計算できた非自明な零点がすべて臨界線 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上にあることに気づき、これが常に成り立つと予想した。証明されれば素数定理の最も強い形が得られる。数十億個の零点が数値的に検証され、すべてこの直線上にあるが、証明も反証も知られていない。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題のうちの1つである。ミレニアム賞ヒルベルト #8未解決
2. 1878
   連続体仮説数学の基礎. カントールは実数全体が非可算であることを示し、その濃度 $2^{\aleph_0}$ が整数の濃度 $\aleph_0$ より真に大きいことを示した。連続体仮説(CH)は、$2^{\aleph_0}$ がまさに次の基数 $\aleph_1$ であるかどうかを問うものである。ゲーデル(1940年)は標準的な ZFC 公理系から CH を反証できないことを示し、コーエン(1963年)は自ら考案した強制法(forcing)という新手法によって CH を証明することもできないことを示した。したがって CH は ZFC から独立しており、CH もその否定も通常の集合論の公理と両立するため、この問いは ZFC だけでは答えが出ない。ヒルベルト #1クルクルト・ゲーデル, 1963

20世紀

1. 1900
   ヒルベルトの第7問題算術と数論. 1934年にアレクサンドル・ゲルフォントとテオドール・シュナイダーによって独立に証明された。$\alpha \ne 0, 1$ が代数的数であり $\beta$ が代数的無理数であれば $\alpha^\beta$ は超越数となり、ヒルベルトが挙げた例 $2^{\sqrt{2}}$ と $e^\pi = (-1)^{-i}$ が一挙に解決された。ヒルベルト #7解決済み
2. 1900
   ヒルベルトの第16問題微分方程式と力学系, 幾何学. 次数 $n$ の実代数曲線の卵形線がとりうる配置と、平面上の次数 $n$ の多項式ベクトル場のリミットサイクル数に対する一様上界 $H(n)$ を問う問題。個々の多項式系が持つリミットサイクルは有限個である(イリヤシェンコ1991年、エカル1992年)が、$H(n) < \infty$ かどうかは $n = 2$ でさえ未解決である。ヒルベルト #16スメイル #13未解決
3. 1900
   ヒルベルトの第6問題数理物理学. ヒルベルトは、確率論と力学の公理的基礎づけと、微視的な粒子衝突から巨視的な流体方程式を厳密に導出することの双方を求めた。1933年にコルモゴロフが確率論を公理化し、2025年には鄧・ハニ・馬が剛体球力学から長時間ボルツマン方程式と流体方程式を導出したが、現代物理学全体の公理化は依然として開かれている。ヒルベルト #6部分的に解決
4. 1900
   ヒルベルトの第10問題数学の基礎, 算術と数論. ディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを一般に判定するアルゴリズムは存在しない——ヒルベルトの第10問題への答えは否定的である。ヒルベルト #10ユーユーリ・マチャセビッチ, 1970
5. 1900
   ヒルベルトの第3問題幾何学. 面積が等しい任意の2つの多角形は有限個の断片に切り分けて互いに組み直すことができるが、マックス・デーンは1900年に3次元での類似が成り立たないことを証明した。体積が等しい立方体と正四面体は $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ において異なるデーン不変量を持ち、決して互いに切り貼りできない。ヒルベルト #3解決済み
6. 1900
   ヒルベルトの第12問題算術と数論. 1のべき根 $\exp(2\pi i/n)$ が $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$ を生成することの一般化として、数体 $K$ のすべてのアーベル拡大に対する明示的な解析的生成元を求める問題。虚二次体については虚数乗法論により、総実体については $p$ 進的な意味でダスグプタとカクデ(2021–2023年)により解決されたが、一般の複素解析的な問題は未解決のままである。ヒルベルト #12未解決